---
name: beta_dist
kind: function
lang: cpp
domain: datascience
version: "1.0.0"
purity: pure
signature: "double lgamma_lanczos(double x); double log_beta(double a, double b); double beta_pdf(double x, double a, double b); double beta_cdf(double x, double a, double b); double beta_quantile(double p, double a, double b); double beta_mean(double a, double b); double beta_variance(double a, double b); double beta_std(double a, double b)"
description: "Distribucion Beta(a,b) completa: log-Gamma (Lanczos), log B(a,b), pdf, cdf (incomplete beta via continued fraction), quantile (bisection), mean/var/std. Para inferencia Bayesiana Beta-Binomial (mcmc-bayes / mcmc-full)."
tags: [beta, distribution, bayesian, lgamma, incomplete_beta, datascience]
uses_functions: []
uses_types: []
returns: []
returns_optional: false
error_type: ""
imports: [cmath]
tested: false
tests: []
test_file_path: ""
file_path: "cpp/functions/datascience/beta_dist.cpp"
params:
  - name: x
    desc: "Soporte de la distribucion en [0, 1]. Fuera devuelve 0 (pdf) o se clamp (cdf)."
  - name: a
    desc: "Parametro alpha (>0)."
  - name: b
    desc: "Parametro beta (>0)."
  - name: p
    desc: "(quantile) Probabilidad en [0, 1]."
output: "Escalares double. Precision: lgamma ~1e-15, cdf ~1e-12, quantile ~1e-7. log_beta y beta_pdf computados en log-space para evitar overflow con a/b grandes."
---

# beta_dist

Pack completo para inferencia Beta-Binomial. Soporta los 3 calculadores Bayesianos del set (mcmc-bayes, mcmc-full, y el targetPDF de mcmc-lab si se cambia a Beta).

## Algoritmos

| Funcion | Algoritmo | Precision |
|---|---|---|
| `lgamma_lanczos` | Lanczos g=7, n=9 + reflection x<0.5 | ~1e-15 |
| `beta_pdf` | log-space exp((a-1)*log(x) + (b-1)*log(1-x) - log B) | full fp64 |
| `beta_cdf` | I_x(a,b) via continued fraction (NR 6.4) | ~1e-12 |
| `beta_quantile` | bisection (60 iter, tol 1e-7) | ~1e-7 |
| `beta_mean/var/std` | formulas cerradas | exacto modulo fp |

## Uso (Bayesian inference)

```cpp
// Posterior Beta(alpha + k, beta + n - k) tras k exitos en n trials con
// prior Beta(alpha, beta).
double a_post = alpha + k;
double b_post = beta  + (n - k);

double map  = (a_post - 1.0) / (a_post + b_post - 2.0);    // moda
double mean = fn::ds::beta_mean(a_post, b_post);
double std  = fn::ds::beta_std (a_post, b_post);

// CI 95% via quantiles
double lo = fn::ds::beta_quantile(0.025, a_post, b_post);
double hi = fn::ds::beta_quantile(0.975, a_post, b_post);

// Densidad para plotear
for (int i = 0; i <= 100; ++i) {
    double x = i / 100.0;
    double y = fn::ds::beta_pdf(x, a_post, b_post);
    // ... feed a line_plot
}
```

## Notas

- La continued fraction converge en <50 iteraciones para `a, b` razonables (<1000); para parametros muy grandes (>1e4) considerar regularized incomplete beta de la libreria estandar — pero `std::lgamma` no esta garantizado portable bit-exact entre toolchains, por eso esta implementacion es self-contained.
- `beta_quantile` es bisection puro: ~60 iter siempre, robusto pero no maximalmente eficiente. Newton encadenado a `beta_cdf` y `beta_pdf` daria 5-10 iter pero requiere care con los bordes.
- Para `a < 1` o `b < 1` la PDF tiene singularidades en los bordes — la implementacion devuelve 0 estrictamente fuera de (0,1) para evitar inf.
